Варианты парадокса Рассела

Существует несколько вариантов парадокса Рассела. В отличие от самого парадокса, они, как правило, не могут быть выражены на формальном языке.

Парадокс лжеца

Парадокс Рассела связан с известным ещё с античных времён парадоксом лжеца, который заключается в следующем вопросе. Дано высказывание:

Данное высказывание — ложно.

Истинно ли это высказывание или нет? Легко показать, что это высказывание не может быть ни истинным, ни ложным.

Рассел про этот парадокс писал:

Это древняя загадка, к которой никто не относился более, чем как к шутке, пока не было обнаружено, что этот вопрос имеет отношение к таким важным и практическим задачам, как существование наибольшего кардинального или ординального числа.

Сам Рассел так объяснял парадокс лжеца. Чтобы говорить что-нибудь о высказываниях, надо сначала определить само понятие «высказывания», при этом не используя не определённых пока понятий. Таким образом, можно определить высказывания первого типа, которые ничего не говорят о высказываниях. Потом можно определить высказывания второго типа, которые говорят о высказываниях первого типа, и так далее. Высказывание же «данное высказывание — ложно» не попадает ни под одно из этих определений, и таким образом не имеет смысла.

Парадокс брадобрея

Рассел упоминает следующий вариант парадокса, сформулированный в виде загадки, которую ему кто-то подсказал.

Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей сам себя?

Любой ответ приводит к противоречию. Рассел замечает, что этот парадокс не эквивалентен его парадоксу и легко решается. Действительно, точно так же, как парадокс Рассела показывает, что не существует расселовского множества, парадокс брадобрея показывает, что такого брадобрея просто не существует. Разница состоит в том, что в несуществовании такого брадобрея ничего удивительного нет: не для любого свойства найдётся брадобрей, который бреет людей, обладающих этим свойством. Однако то, что не существует множества элементов, заданных некоторым вполне определённым свойством, противоречит наивному представлению о множествах и требует объяснения.

Вариант о каталогах

Наиболее близким по формулировке к парадоксу Рассела является следующий вариант его изложения:

Библиографические каталоги — это книги, которые описывают другие книги. Некоторые каталоги могут описывать другие каталоги. Некоторые каталоги могут описывать даже сами себя. Можно ли составить каталог всех каталогов, которые не описывают сами себя?

Парадокс возникает при попытке решить, должен ли этот каталог описывать сам себя. Несмотря на кажущуюся близость формулировок (это фактически парадокс Рассела, в котором вместо множеств используются каталоги), этот парадокс, так же, как и парадокс брадобрея, разрешается просто: такой каталог составить нельзя.

Парадокс Греллинга — Нельсона

Этот парадокс был сформулирован немецкими математиками Куртом Греллингом и Леонардом Нельсоном в 1908 году. Он фактически является переводом первоначального варианта парадокса Рассела, изложенного им в терминах логики предикатов, на нематематический язык.

Будем называть прилагательное рефлексивным, если это прилагательное обладает свойством, определяемым этим прилагательным. Например, прилагательные «русское», «многосложное» — обладают свойствами, которые они определяют (прилагательное «русское» является русским, а прилагательное «многосложное» является многосложным), поэтому они являются рефлексивными, а прилагательные «немецкое», «односложное» — являются нерефлексивными. Будет ли прилагательное «нерефлексивное» рефлексивным или нет?

Любой ответ приводит к противоречию. В отличие от парадокса брадобрея, решение этого парадокса не такое простое. Нельзя просто сказать, что такого прилагательного («нерефлексивный») не существует, так как мы его только что определили. Парадокс возникает из-за того, что определение термина «нерефлексивный» некорректно само по себе. Определение этого термина зависит от значения прилагательного, к которому оно применяется. А так как слово «нерефлексивный» само является прилагательным в определении, возникает порочный круг.

Источник: wikipedia