Теорема о бесконечности множества простых чисел

Как понять теорему Евклида о бесконечном множестве простых чисел?

=== Скачать файл ===

Натуральные числа, которые больше единицы и не являются простыми, называются составными. Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы. Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число , большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора. Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают решето Эратосфена , решето Сундарама и решето Аткина. Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными например, тест Миллера — Рабина и используются для нужд криптографии. В году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность , что затрудняет его практическое применение. Простых чисел бесконечно много. Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:. Математики предлагали другие доказательства. Одно из них приведённое Эйлером показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n. Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа \\\\\\\\\\\\[3\\\\\\\\\\\\]. Его нашли 17 сентября года в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS , однако все проверки завершились лишь 7 января года \\\\\\\\\\\\[4\\\\\\\\\\\\]. Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые. За нахождение простых чисел из более чем и 1 десятичных цифр EFF назначила \\\\\\\\\\\\[5\\\\\\\\\\\\] денежные призы соответственно в и долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 и 10 десятичных цифр. Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов. Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределённых вычислений GIMPS , PrimeGrid , Ramsey Home , Seventeen or Bust , Riesel Sieve , Wieferich Home. В разное время предпринимались попытки указать выражение, значениями которого при разных значениях входящих в него переменных были бы простые числа \\\\\\\\\\\\[18\\\\\\\\\\\\]. Можно доказать, что не существует многочлена от одной переменной n , который принимает простые значения при всех целых n \\\\\\\\\\\\[18\\\\\\\\\\\\]. Тем не менее, существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества. До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе \\\\\\\\\\\\[25\\\\\\\\\\\\]:. Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Мерсенна \\\\\\\\\\\\[18\\\\\\\\\\\\] , числа Фибоначчи , числа Ферма и др. Большие простые числа порядка 10 используются в криптографии с открытым ключом. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Последовательность простых чисел начинается так: Наибольшее известное простое число. Открытые проблемы в теории чисел. Советская Энциклопедия , Проверено 1 марта Mathematics of Computation Нечётное число p , не кратное 3, равно 1 или 2 по модулю 3 и равно 1, 3, 5 или 7 по модулю 8. При возведении в квадрат это даёт 1 по модулю 3 и 1 по модулю 8. Вычитая 1, получаем 0 по модулю 3 и 0 по модулю 8. Числа по характеристикам делимости. Основная теорема арифметики Арифметическое число. Полусовершенное число Параритмическое число Число Эрдёша-Николя. Неприкосновенное число Дружественные числа Общественные числа Квазидружественные числа. Недостаточные числа Приятельские числа Сублимированные числа Гармоническое число делителя Скромное число Равноцифровые числа Экстравагантное число. Производные латинской буквы P, p. Теория чисел Целочисленные последовательности Простые числа Делимость и остатки. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN Википедия: Статьи со ссылками на статьи об отдельных числах Статьи с потенциально устаревшей информацией Википедия: Статьи с нерабочими ссылками с января Википедия: Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 22 июля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Причины и пути происхождения государства

История мяча википедия

Сопли стали белыми