Решение задачи 373

Условие:

Про нечетную непрерывную функцию f(x) известно, что для любого x выполнено f(2x) = 2f(x). Верно ли, что функция f(x) линейная?

Решение:

Равенство f(2x) = 2f(x) означает, что при гомотетии с центром в начале координат с коэффициентом 2, график функции переходит сам в себя. Это наводит на мысль, что функция не обязательно линейная, а может выглядеть примерно следующим образом при положительных x:

Зададим функцию следующим образом: для любых целых n функция равна полуокружности на отрезке [2ⁿ⁻¹,2ⁿ] в верхней полуплоскости. Иначе функция равна 0. Очевидно, что предел функции f при x --> +0 равен 0. Поэтому, чтобы функция была непрерывной в нуле, нужно ее доопределить нулем в нуле. При отрицательных x функция получается отражением нечетным образом.

Таким образом, функция действительно получается непрерывной, нечетной и для нее выполнено, что f(2x) = 2f(x). При этом очевидно, функция линейной не является.

Ответ: нет, неверно.

Замечание:

1) На самом деле, график приведенной функции будет выглядеть как касающиеся друг друга полуокружности.

2)есть много других примеров.