Решение задачи 80

Рассмотрим правильную 51-угольную пирамиду и сферу, которая касается всех ее ребер. В ее основании лежит правильный 51-угольник. Плоскость основания выглядит следующим образом:

Возьмем две соседние вершины (на картинке это вершины A и B). Продлим мысленно две стороны до пересечения, как на картинке. Пусть M - точка пересечения. Рассмотрим 50-угольник, который получен из 51-угольника выкидыванием вершин A, B и добавлением вершины М. Сферу оставим без изменений и будем рассматривать 50-угольную пирамиду с построенным 50-угольником в основании.

Теперь становится понятно, что эта сфера будет касаться всех ребер в основании нового 50-угольника, т.к. касалась всех ребер в основании 51-угольника, а отрезки этих ребер остались прежними. Также понятно, что сфера касается всех боковых ребер при всех вершинах кроме М.

Действительно, г. м. т. точек в плоскости основания, соединив которые с верхней вершиной пирамиды, мы получим касательную к сфере - описанная окружность изначального 51-угольника по построению. Точка М, очевидно, лежит вне описанной окружности.

Таким образом мы построили пример 50-угольной пираиды и сферы, которая касается всех ребер в основании и всех, за исключением одного, боковых ребер (т.е. касается 99, но не касается 100 ребер).

Ответ:нет, не обязательно.