Решение задачи 392

Условие:

Расположите на плоскости 8 точек так, чтобы на серединном перпендикуляре к любому отрезку с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек.

Решение:

Рассмотрим такую конструкцию: квадрат ABCD и квадрат IKLMN, полученный из квадрата ABCD гомотетией с коэффициентом, меньшим 1/sqrt(2), в центре квадрата ABCD и поворотом на 90°.

Тогда легко видеть, что (вне зависимости от коэффициента гомотетии) на серединных перпендикулярах к отрезкам AB, KL, AC, KM лежат две точки (и еще на многих, полученных из этих с помощью повторов и отражений). Проблему составляют серединные перпендикуляры, проведенные к отрезкам DI и DM. Подберем коэффициент гомотетии так, чтобы все было хорошо.

Возьмем такой коэффициент, чтобы угол IAB равнялся 60°.

Нетрудно видеть, что AD=AI=AB. Так как при повороте вокруг центра на 90° по часовой стрелке AK переходит в DI, то AK перпендикулярно DI. Треугольник ADI равнобедренный с равными сторонами AD и AI, AK -- высота, проведенная к основанию, значит она является и медианой. Отсюда следует, что точки A, K лежат на серединном перпендикуляре к DI. Осталось разобраться с серединными перпендикуляром к DM.

Используя симметричность рисунка, нетрудно видеть, что углы DAI, IAM, MAB равны по 30°, а отрезки AD, AI, AM равны между собой. Отсюда следует, что треугольники ADI и AIM равны, а значит и равны отрезки DI и IM. Получается, каждая из точек A, I равноудалена от точек D, M, а значит они лежат на серединном перпендикуляре к DM. Таким, образом на каждом серединном перпендикуляре лежат две точки.