Решение задачи 391

Условие:

На шахматной доске 8 × 8 стоит кубик (нижняя грань совпадает с одной из клеток доски). Его прокатили по доске, перекатывая через ребра, так что кубик побывал на всех клетках (на некоторых, возможно, несколько раз). Могло ли случиться, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?

Решение:

Покажем, что могло. Пусть имеется белый кубик с одной черной гранью. Перекатим его так, чтобы эта черная грань ни разу не оказалась на доске. Смотрим на все происходящее сверху. Пусть кубик стоит где-то черной гранью вверх. Тогда если его перекатить вправо (если кубик не находится в крайнем правом столбце), то можно прокатиться по всему столбцу, в котором он сейчас находится. Аналогично с левым столбцом. Заметим также, что если кубик перекатить вперед (или назад), то можно без проблем кататься по горизонтали, в которой он сейчас находится. Итак, поставим кубик куда-нибудь в центр. Хотим прокатиться по первому столбцу. Для этого перекатываем кубик вперед, катимся налево до второго столбца, откатываем назад, перекатываемся налево. Таким образом мы оказались в первом столбце и черная грань смотрит влево. Потом перекатываемся вправо, черная грань смотрит вверх. Повторяя процедуру, мы можем по горизонтали докатиться до любого столбца, встать, чтобы черная грань смотрела вверх, упасть вправо или влево и прокатиться по столбцу. Таким способом прокатимся через всю доску, причем черная грань не окажется ни разу на доске.

Ответ: Могло.