Решение задачи 390

Условие:

Найдите сумму всех семизначных чисел, полученных перестановкой цифр 1, 2, ..., 7.

Решение:

Выпишем все числа в столбик, ровно друг под другом. Очевидно, что количество чисел, содержащих фиксированную цифру в фиксированном разряде, 6!. Получается, что в каждом столбике-разряде (состоящем из 7! цифр) каждая цифра (от 1 до 7) встретится 6! раз. Поэтому сумма цифр в каждом разряде равна 6!·(1+2+...+7)=6!·28. Осталось для каждого разряда эту сумму умножить на 10 в соответствующей степени: для единиц на 1, для десятков -- 10, ..., для десятков миллионов -- 10⁶. В итоге сумма всех нужных чисел равна 6!·28·(1+10+100+...+1000000) = 6!·28·111111.

Ответ: 6!·28·111111.