Решение задачи 389

Условие:

Могут ли биссектрисы двух внешних углов треугольника пересекаться на его описанной окружности?

Решение:

Пусть дан треугольник ABC, I -- центр вписанной окружности, G -- центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC.

Пусть ∠IBC=α, ∠ICB=β, ∠A=γ. Тогда 2α+2β+γ=180°, то есть α+β=90°−γ/2. Найдем угол ∠BIC: ∠BIC+α+β=180° => ∠BIC=180°−(α+β)=90°+γ/2. Рассмотрим четырехугольник BICG, в нем два прямых угла: ∠IBG и ∠ICF, значит ∠BIC+∠BGC=180° => ∠BGC=90°−γ/2. Пусть точка G попала на описанную окружность треугольника ABC, тогда ∠A+∠G=180° => 90°+γ/2=180° => γ=180°. Противоречие.

Ответ: Не могут.