Решение задачи 387

Условие:

Вычеркните из произведения 1!·2!·3!·...·99!·100! один из ста факториалов, чтобы оставшееся произведение было квадратом целого числа.

Решение:

Заметим, что 99!·100!=(99!)²·100, 97!·98!=(97!)²·98,..., 1!·2!=(1!)²·2. Отсюда следует, что 1!·2!·3!·...·99!·100!=(1!)²·(3!)²·...·(97!)²·(2·4·...·98·100)=(1!)²·(3!)²·...·(97!)²·2⁵⁰·50!=m²·50!, где m натуральное число. То есть, если из исходного произведения вычеркнуть 50!, то оставшееся произведение будет полным квадратом. Нетрудно показать, что это решение единственно, но это не требуется в задаче.

Ответ: Вычеркнем 50!.