Решение задачи 384

Условие:

На окружности выбраны случайно n точек. Найдите вероятность того, что они все лежат на одной полуокружности.

Решение:

Пусть выбраны n точек, отметим их белым цветом. Отразим их относительно центра и получим n новых точек, отметим их черным цветом. Тогда верно следующее: исходные белые точки лежат на одной полуокружности тогда и только тогда когда они идут подряд. Докажем это:

Слева направо: Фиксируем полуокружность L, возьмем точку А на ней, если ее отразить относительно центра, то она попадет на другую полуокружность L' (L и L' пересекаются только по двум концевым точкам). Значит, если n белых точек лежали на одной полуокружности L, то симметричные им точки будут лежать на другой полуокружности L', а значит n белых точек идут подряд.

Справа налево: Пусть n точек идут подряд, но они не на одной полуокружности. Пронумеруем белые точки по часовой стрелке: 1, 2,.., n. По предположению они не на одной окружности, значит точка n лежит вне полуокружности 121' (точка 1' -- точка, симметричная точке 1), отсюда следует, что черная точка 1' лежит между какими-то двумя белыми, противоречие (см. рисунок).

Значит мы свели задачу к следующей: "Случайно выбраны 2n точек, n белых и n черных, причем они образуют n пар: каждая пара содержит диаметрально противоположные точки, причем одна из точек в паре белая, другая -- черная. Какова вероятность, что n белых точек идут по кругу?". Всего вариантов 2ⁿ, так как в каждой паре надо выбрать белую точку (2 способа), а благоприятных 2n, потому что 2n способами выбираем стартовую точку, оставшиеся n−1 выбираем следующими за ней по часовой стрелке. Получаем вероятность=2n/2ⁿ=n/2ⁿ⁻¹.

Ответ: n/2ⁿ⁻¹.