Решение задачи 381

Условие:

Любое ли чётное натуральное число можно представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, каждое из которых состоит из нечётных цифр?

Решение:

Назовем натуральное число особенным, если оно состоит только из нечетных цифр. Посмотрим на число 100, его можно представить в виде суммы двух особенных чисел: например, 93+7. Но нетрудно видеть, что в любом представлении числа 100 в виде суммы двух особенных чисел, одно из чисел будет однозначным. Другими словами, число 100 нельзя представить в виде сумме двух двухзначных особенных чисел. Это нетрудно понять, пусть ab+cd=100 (a, b, c, d -- цифры, ab=10*a+b), тогда, складывая в столбик, получаем, что b+d=10, а a+c=9, но сумма двух нечетных чисел не может равняться девяти.

Мораль: найти четное число, которое не представимо в виде суммы двух особенных чисел, среди которых есть однозначное, и которое оканчивается двумя нулями. Почему это число подойдет? Потому что сумма двух чисел, образованных двумя последними цифрами особенных чисел равна 100, а это, как мы уже знаем, невозможно.

Число 100 нам не подходит, возьмем 200, тоже не подходит: 200=193+7. Возьмем 300. Если в его разбиении на два особенных числа, одно из них однозначно, значит второе начинается на "2", то есть оно не особенное. Значит, 300 удовлетворяет нашим требованиям и его нельзя представить в виде суммы двух особенных чисел.

Ответ: Нет, например, число 300 нельзя.