Решение задачи 380

Условие:

100 гирек выставили в ряд. Известно, что веса соседних гирек отличаются ровно на 1 грамм. Докажите, что можно разложить все гирьки на две чаши весов так, чтобы было равновесие.

Решение:

Пронумеруем гирьки от 1 до 100 так, как они стоят в ряду.

Разделим все гирьки на 50 пар: 1-я со 2-ой, 3-я с 4-ой,..., 99-я с 100-ой. Положим первую гирьку (с нечётным номером) из каждой пары на левую чашу весов, а вторую (с четным номером) -- на правую.

Заметим, что разность весов в каждой паре -- это +1 или -1. Необходимо добиться того, чтобы суммарная разность весов во всех парах равнялась 0 (это и будет означать равенство весов на левой и на правой чаще).

Легко добиться смены знака разности весов в каждой паре, просто переставив гирьки. Действуя подобным образом, можно добиться того, чтобы ровно 25 пар имели разность +1 и ровно 25 пар имели разность -1. После, возможно, нескольких таких перестановок можно легко уравновесить чаши весов.