Решение задачи 357

Условие:

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

Решение:

Обозначим через x количество лоскутков белого цвета, а через y -- черного. Тогда имеем связь неизвестных: x+y=32. Теперь посчитаем количество ребер (не граней), отделяющих белые лоскутки от черных. С одной стороны их 3x, так как каждый белый лоскуток граничит с тремя черными, а с другой -- 5y, так как каждый черный лоскуток, являющийся пятиугольником, граничит с пятью белыми. Получаем еще одну связь неизвестных: 3x=5y. Решая систему линейных уравнений, находим, что x=20, y=12.

Ответ: 20.