Решение задачи 363

Условие:

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

Решение:

Пусть цвета – синий, красный, жёлтый. Нарисуем чёрный 45-угольник на прозрачной пленке и наложим его на исходный. Назовём это положением С. Обведём на пленке кружками 15 синих вершин. Поворачивая пленку каждый раз на угол 360° : 45 = 8°, совмещаем вершины на пленке с вершинами исходно 45-угольника и считаем количество кружков, содержащих красные вершины. В среднем за полный оборот это количество равно 15·15 : 45 = 5. Так как в положении С таких кружков 0, то в некотором положении К "красных" кружков не менее шести. Оставим на пленке только эти шесть кружков. Аналогично найдём положение пленки Ж, где в эти 6 кружков попало более двух (то есть не менее трёх) жёлтых вершин. Сотрём все кружки, кроме этих трёх. Они и дадут нам три равных треугольника: в положении Ж – жёлтый, в положении К – красный, в положении С – синий.

Автор: Владимир Брагин.