Решение задачи 362

Условие:

В крайних клетках полоски 1×20 стоят белая и черная шашки. Двое по очереди передвигают свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это возможно (перепрыгивать через шашку нельзя). Проигрывает тот, кто не может двинуть свою шашку. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение:

Без ограничения общности считаем, что белая шашка стоит в крайней левой клетке, а черная -- в крайней правой. Покажем, что тот, после чьего хода шашки встретились (то есть между ними 0 клеток), тот и выиграл. Действительно, пусть после хода белых шашки встретились. Тогда черным остается двигаться только вправо, и белые просто повторяют ходы черных: на сколько черные ходят вправо, настолько и белые. После каждого хода белых две шашки будут стоять рядом, и черные каждый свой ход будут идти направо, пока не упрутся в край полоски, и, соответственно, проиграют.

Теперь покажем, что второй игрок может играть так, что после его хода шашки встретятся. Изначально между шашками 18 клеток. Тактика второго игрока следующая: ходить так, чтобы после его хода количество клеток между шашками было кратно трем. Он может так делать, потому что изначально между шашками 18 клеток, и после каждого хода первого игрока количество клеток между шашками не будет кратно трем, то есть давать остаток 1 или 2. Если остаток 1, то второй двигает шашку на одну клетку, если 2 -- то на две. Шашки когда-нибудь встретятся, так как второй всегда идет навстречу первому, и встреча произойдет после хода второго игрока, потому что 0 кратен трем.

На самом деле первый абзац решения задачи можно убрать -- там описана та же самая тактика второго игрока.

Ответ: Второй игрок.