Решение задачи 361

Условие:

Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладет рубашкой вверх, а остальные — картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

Решение:

Для начала участники фокусы нумеруют карты от 1 до 52 как угодно, то есть оба знают эту нумерацию. Далее первый участник действует следующим образом: из пяти снятых карт, выбирает карту с наибольшим номером, берет остаток этого номер при делении на 5 и кладет карту рубашкой вверх на соответствующую позицию. Например, если самая большая карта имеет номер 20, то он кладет ее рубашкой вверх на нулевую позицию, то есть остальные четыре карты будут лежать правее (позиции нумеруются с нуля). Таким образом второй участник видит номер позиции на которой лежит загаданная карта, то есть он знает какой остаток дает номер карты при делении на пять. В колоде не более одиннадцати карт, дающих определенный остаток при делении на 5. Первому участнику остается с помощью четырех оставшихся карт указать какая именно загадана карта из десяти или одиннадцати возможных. Например, он может сделать это таким способом. Упорядочить мысленно четыре карты по номеру и пронумеровать еще раз от 1 до 4. Четыре карты можно расположить 4!=24 способами. Каждому способу соответствует четырехзначное число из цифр 1, 2, 3, 4. Эти числа пронумеруем от 1 до 24. Получается, что первый участник с помощью перестановки из четырех карт может закодировать четырехзначное число, а по этому числу восстанавливается однозначно число от 1 до 24 (на самом деле хватит и до 11), и это число будет обозначать номер карты, дающей определенный остаток при делении на 5.

Пример:

Второй участник видит, что карта, лежащая на второй позиции лежит рубашкой вниз, значит ее номер дает остаток 2 при делении на 5. Он понимает, что загаданная карта имеет один из следующих номеров: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52. Глядя на оставшиеся четыре карты, он понимает, что первый участник закодировал число 2134, оно является седьмым по счету из всевозможных четырехзначных чисел, состоящих из цифр {1, 2, 3, 4}, значит рубашкой вверх лежит карта с номером 32.