Решение задачи 359

Условие:

Придумайте натуральное число, делящееся на 14, с как можно меньшей суммой цифр.

Решение:

Пусть есть число, которое делится на 7. Если справа к нему дописать 0, то оно точно будет делиться на 14, а его сумма цифр не изменится. Поэтому будем искать натуральное число, делящееся на 7, с как можно меньшей суммой цифр.

Оценка:

Покажем, что сумма цифр искомого числа хотя бы 2. Действительно, если сумма цифр числа равна единице, то это число имеет вид 10...0, но оно не делится на семь.

Пример:

Попробуем найти число с суммой цифр равной двум. Понятно, что числа вида 20...0 не подойдут, поэтому будем искать число вида 10...01, то есть нам нужно число вида 10...0, которое дает остаток 6 при делении на 7. Число 10 дает остаток 3 при делении на 7, значит 100 дает остаток 2, а 1000 -- 6. Это значит, что 1001 делится на 7. Нетрудно видеть, что тогда 10010 делится на 14.

Ответ: 10010.