Решение задачи 358

Условие:

Докажите, что для любого натурального n следующее выражение является целым числом:

Решение:

Рассмотрим следующую задачу: «Пусть имеется алфавит из n букв: a₁, a₂, .., a_n. Сколько можно составить различных слов, имея одну букву a₁, две буквы a₂, .., n букв a_n?» Заметим, что каждое слово имеет длину n(n+1)/2, поэтому если бы одинаковые буквы различались, то был бы ответ [n(n+1)/2]!, но одинаковые буквы не различаются, поэтому это число надо разделить на количество всевозможных перестановок одинаковых букв, то есть на 1!*2!*...*n!. Получается, что ответом на эту задачу является интересующее нас выражение. Осталось заметить, что количество слов является целым числом.