Решение задачи 356

Условие:

Докажите, что на плоскости нельзя разместить более чем счетное множество непересекающихся восьмерок (восьмерки не обязательно одинаковые, не обязательное ориентированы одинаково и не обязательно симметричны).

Решение:

У каждой восьмерки есть два "кругляшка", из которых она состоит. Введем как угодно систему координат. Напомним, что рациональная точка, это точка имеющая две рациональные координаты. Для каждой восьмерки выберем две рациональные точки: по одной в каждом кругляшке. Так можно сделать, потому что множество рациональных точек является плотным множеством. Таким образом, мы каждой восьмерке сопоставили пару рациональных точек. Осталось заметить, что любым двум восьмеркам не может соответствовать одна и та же пара рациональных точек, потому что любые две восьмерки имеют следующее взаиморасположение: либо одна находится внутри "кругляшка" другой, либо их внутренние множества не пересекаются. Так как рациональных чисел счетно, то и пар рациональных точек (что тоже самое: четверок рациональных чисел) счетно. Поэтому восьмерок не более чем счетно.