Решение задачи 354

Условие:

У Тайлера Джозефа есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, то Тайлер укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль, и треугольник снова нельзя сложить, то Тайлер повторяет операцию. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Решение:

Рассмотри многочлен f(x)=x³−x²−x−1. Заметим, что f (1)<0, f(2)>0, значит у f(x) есть корень, больший единицы. Обозначим его через t. Рассмотрим палочки с длинами t³, t² и t. Самая длинная палочка имеет длину t³ и t³>t²+t, значит из этих палочек нельзя сложить треугольник. После укорачивания самой длинной палочки получим палочки с длинами t³−t²−t=1, t, t². Заметим, что отношения длин палочек не изменились, значит процесс будет продолжать вечно.

Ответ: Может.