Решение задачи 353

Условие:

Что больше: ₑπ или πᵉ?

Решение:

Сравниваем числа: ₑπ ? πᵉ. Возьмем от обеих частей логарифм. Так как функция ln(·) возрастает, то знак неравенства не поменяется. Имеем: π ? e*ln(π). Число ln(π) больше нуля, так как π>e, поэтому можно поделить обе части на ln(π), знак не поменяется. Имеем: π/ln(π) ? e=e/ln(e). Введем функцию f(x)=x/ln(x), x>0. Возьмем производную: f'(x)=(ln(x)−1)/(ln²(x)). Получается, при x<e функция f(x) убывает, в точке е достигает своего минимума, а при x>e возрастает. Значит, f(π)>f(e) => (так как все переходы были равносильны) => ₑπ > πᵉ.

Ответ: ₑπ.