Решение задачи 352

Условие:

Пусть Ezh -- конечное множество различных чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит Ezh. Какое наибольшее число элементов может быть в Ezh?

Решение:

Оценка:

Покажем, что больше трех чисел одного знака не может быть в Ezh. Действительно, пусть числа a, b, c, d самые большие положительные и лежат в Ezh (для отрицательных рассуждения аналогичны). Считаем, что a<b<c<d. Рассмотрим тройку чисел: b, c, d. Суммы b+d и с+d точно не лежат в Ezh, так как они больше d. Получается, что b+c обязательно лежит в Ezh, но b+c>b и b+c>c, значит b+c=d. Рассмотрим теперь тройку чисел: a, c, d. Аналогично рассуждая, получаем, что a+c=d. Имея два равенства b+c=d и a+c=d, получаем, что a=b, чего быть не может. Значит в Ezh максимум 7 чисел: 3 положительных, 3 отрицательных и ноль.

Пример:

Приведем пример множества Ezh, состоящее из 7 чисел: {−3,−2,−1,0,1,2,3}. Нетрудно убедиться, что это множество удовлетворяет условию.

Ответ: Семь.