Решение задачи 349

Условие:

Две карты Москвы разного масштаба наложены друг на друга так, что меньшая карта лежит целиком на большей (север у них в одном направлении). Докажите, что их можно проткнуть булавкой так, чтобы на обоих картах была проколота одна и та же точка Москвы.

Решение:

Возьмем на маленькой Москва две разные точки: А и В. На большой Москве соответствующие им точки А' и В'. Покажем, что АВ параллельно А' В'. Действительно, большая Москва получается из маленькой при помощи гомотетии с нужным коэффициентом (центр неважно где) и нужным сдвигом. А так как известно, что при гомотетии и сдвигах прямые переходят в параллельные им прямые, то АВ параллельно А' В'. Значит существует единственная гомотетия переводящая АВ в А' В' (ее центр лежит на пересечении прямых АА' и BB'). Любая Москва однозначно определяется двумя точками, значит при такой гомотетии маленькая Москва перейдет в большую, а так как центр гомотетии является единственной неподвижной точкой при гомотетии, то его и надо будет проткнуть.

Замечание: На самом деле надо еще показать, что центр гомотетии будет лежать внутри маленькой Москвы, попробуйте сделать это самостоятельно.