Решение задачи 344

Условие:

Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.

Решение:

Пусть abcdef -- десятичная запись исходного числа (каждая буква -- цифра). Тогда полученное из него число имеет вид (abcdef-f)/10+f*10⁵. При домножении на 10 свойство "делиться на 7" не меняется, так как 7 и 10 взаимно просты. Получается, необходимо и достаточно показать, что число abcdef-f+f*10⁶ делится на 7. Оно равно abcdef+999999*f, что делится на 7, так как abcdef делится на 7 по условию, а 999999 делится на 7, например, по следующим соображениям: 10 дает остаток 3 при делении на 7, значит 10⁶ дает остаток 3⁶=27²=(-1)²=1, значит 999999 дает остаток 0. Что и требовалось доказать.