Решение задачи 342

Условие:

Аня, Алиса и Даша играли в настольный теннис. Проигравший партию всякий раз уступал место тому, кто в ней не участвовал. За день Аня сыграл 10 партий, Алиса — 21 партию. Сколько партий сыграл Даша?

Решение:

Пусть Даша сыграла n партий. Алиса сыграла с Аней не больше 10, значит с Дашей она сыграла хотя бы 11 партий, то есть n≥11. Всего было сыграно S=(21+10+n)/2=(31+n)/2. Так как любой игрок среди двух любых играх подряд играет хотя бы одну партию, то каждая из девочек сыграет хотя бы (S−1)/2 партий, значит 10≥(S−1)/2=((31+n)/2−1)/2 ⇔ 20≥(31+n)/2−1⇔42≥31+n ⇔ n≤11. Получается, n=11.

Ответ: 11.