Решение задачи 338

Условие:

Возможен ли треугольник, высоты которого равны 3, 4 и 5?

Решение:

Пусть a, b, c -- стороны треугольника, тогда пользуясь формулой для вычислении площади треугольника, получаем, что 5a=4b=3c. Отсюда находим соотношение сторон: a:b:c=12:15:20. Верно и обратное, если стороны треугольника соотносятся как 12:15:20, то его высоты соотносятся как 3:4:5. Заметим, что для любого k, треугольник со сторонами 12k, 15k, 20k возможен, следовательно, корректируя коэффициент k, можно добиться того, чтобы высоты стали равными 3, 4 и 5.

Ответ: Возможен.