Решение задачи 331

Условие:

Можно ли все натуральные числа раскрасить в два цвета так, чтобы не было бесконечной арифметической прогрессии одного цвета?

Решение:

Будем красить в два цвета: красный и синий. Первое число (единицу) покрасим в красный цвет, следующие два в синий, следующие три в красный и так далее. Рассмотрим любые арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел. Пусть первый элемент равен n, а шаг -- d. Нетрудно видеть, что найдется хотя бы d красных чисел, идущих подряд, первое из которых больше n. Тогда в этой прогрессии есть красное число. Аналогично в этой прогрессии есть синее число.

Ответ: Да.