Решение задачи 317

Условие:

На шахматной доске стоят 10 шахматных фигур (слоны и ладьи), не бьющих друг друга. Какое наименьшее количество слонов может быть среди них?

Решение:

По-другому сформулируем вопрос: какое наибольшее количество ладей может быть среди фигур? Девять или десять ладей расставить так, чтобы никакие две друг друга не били, невозможно. Если на доске стоят 8 ладей так, что никакие две друг друга не бьют, то слонов уже ставить некуда, потому что любая свободная клетка находится под боем ладьи. Пусть на доске стоят 7 ладей так, что никакие две друг друга не бьют. Посчитаем сколько клеток они не бьют. Найдется единственная строка, в которой не стоят ладьи, обозначим ее номер через i, найдется единственный столбец, в котором нет ладей, обозначим его номер через j. Очевидно, что клетку с координатами (i,j) не бьет ни одна из ладей, а все другие свободные клетки находятся под боем хотя бы одной ладьи. Таким образом только одну клетку не бьют ладьи, то есть три слона поставить не получится. Аналогично рассуждая, получаем, что шесть ладей, не бьющих друг друга, не бьют ровно 4 клетки. Значит, ладей не больше шести.

Пример на шесть ладей (4 слона) есть, но его надо аккуратно построить. Cначала разместим четыре слона следующим образом:

Осталось в свободный квадрат 6×6 расставить шесть ладей. Окончательный пример:

Ответ: 4.