Решение задачи 313

Условие:

Может ли сумма 1+2+...+n при каком-нибудь натуральном n оканчиваться цифрой 7?

Решение:

Заметим, что 1+2+...+n=n(n+1)/2. Также заметим, что если число оканчивается на 7, то оно сравнимо с двойкой по модулю 5, то есть n(n+1)/2 ≡ 2 (mod 5). Значит n(n+1) ≡ 4 (mod 5). Давайте покажем, что n²+n не может давать остаток 4 при делении на 5. Если n дает остатки 0, 1, 2, 3, 4 при делении на 5, то n² дает остатки 0, 1, 4, 4, 1 при делении на 5 соответственно. Заметим, что ни одно из чисел 0+0, 1+1, 2+4, 4+3, 1+4 не равно четырем по модулю 5, значит n²+n не может давать остаток 4 при делении на 5.

Ответ: Нет.