Решение задачи 311

Условие:

Дано 2018 чисел. Известно, что сумма любого набора из 41 числа положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Решение:

Упорядочим числа: a₁≤a₂≤ ... ≤a₂₀₁₈. Рассмотрим число a₄₂. Если оно неположительно, то и все числа a₁, а₂, ..., а₄₁ тоже неположительны, но тогда их сумма не может быть положительной. Получается, что число a₄₂ положительно, а значит и все числа a₄₃, ..., a₂₀₁₈ тоже положительны. По условию сумма a₁+a₂+...+а₄₁ положительна, значит сумма a₁+a₂+...+a₂₀₁₈ положительна.

Ответ: Да.