Решение задачи 310

Условие:

На прямой отмечено 9 красных и 9 синих точек. Всегда ли можно стереть по 4 точки каждого цвета так, чтобы оставшиеся пять точек каждого цвета располагались подряд?

Решение:

Будем считать, что точки покрашены в два цвета: белый и черный. Разделим точки на две группы: левые девять точек и правые девять. Рассмотрим первую группу точек, в ней найдется хотя бы 5 точек одного цвета, без ограничения общности будем считать, что белого. Наборы точек в двух группах обладают некой симметрией: количество белых точек в первой группе равно количеству черных точек во второй группе. Сотрем в первой группе 4 точки так, чтобы в ней осталось ровно 5 белых. Пусть мы стерли n белых и 4−n черных точек. Сотрем во второй группе n черных и 4−n белых точек. В силу "симметрии" во второй группе останутся 5 черных точек.

Ответ: Да.