Решение задачи 308

Условие:

Есть куча из n спичек. Играют двое, ходят по очереди, за ход разрешается брать от 1 до 10 спичек, выигрывает взявший последнюю спичку. При каких n выигрывает начинающий?

Решение:

Пусть количество спичек не кратно 11, то есть n дает остаток от 1 до 10 при делении на 11. Первый игрок своим первым ходом берет количество спичек, равное этому остатку. Тогда после хода второго игрока количество спичек будет опять не кратно одиннадцати, и так далее. Первый игрок играет так, чтобы после каждого его хода количество спичек было кратно одиннадцати. Очевидно, что после каждого хода второго игрока количество спичек будет не кратно одиннадцати. С помощью этой тактики первый игрок выигрывает.

Если же n кратно 11, то у второго игрока есть такая же победная тактика: каждым своим ходом оставлять кратное одиннадцати число спичек.

Ответ: При n не кратных одиннадцати.