Решение задачи 305

Условие:

У каждого марсианина по три руки и несколько антенн. Каждый марсианин взял за руки трех других (так, что все руки оказались заняты). Оказалось, что у любых двух марсиан, взявшихся за руки, количество антенн отличается ровно в 6 раз. Может ли суммарное количество антенн быть 2018?

Решение:

Предположим, что такое может быть. Пусть марсиане А и В держатся за руки. На паре их рук напишем число, равно сумме количеств антенн у марсианина А и марсианина В. Проделаем это для каждой пары марсиан, взявшихся за руки. Нетрудно видеть, что каждое записанное число делится на 7. Действительно, пусть у марсианина А ровно n антенн, тогда у марсианина B -- 6n антенн, в сумме 7n (или наоборот). С другой стороны, сумма всех записанных чисел равна утроенному числу всех антенн у марсиан, так как каждый марсианин учитывается три раза (у каждого три руки). Получается, 2018*3 делится на 7, то есть 2018 делится на 7, но это не так, противоречие.

Ответ: Нет.