Решение задачи 302

Условие:

На единичной окружности произвольным образом отмечены 100 точек. Верно ли, что на этой окружности можно выбрать еще одну точку так, что сумма расстояний от нее до всех отмеченных точек будет не меньше 100?

Решение:

Пусть изначально на окружности отмечены точки A1,A2,A3,...,A100. Выберем произвольным образом две диаметрально противоположные точки M и K. Тогда для любой точки Ai можем записать неравенство треугольника (для треугольника MKAi):

MAi + KAi ≥ MK = 2. Просуммируем все неравенства для всех i. Тогда если

Sm = MA1 + MA2 + ... + MA100 ,

Sk = KA1 + KA2 + ... + KA100

то Sm + Sk ≥ 200. Значит хотябы отдно из чисел Sm, Sk не меньше 100. Значит одна из двух выбранных диаметрально противоположных точек будет искомой.

Ответ: да.