Решение задачи 301

Условие:

Придумайте 10 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.

Решение:

Решим задачу для трех чисел, легко убедиться, что подходят следующие числа: 1, 2, 3. Теперь попробуем добавить четвертое число так, чтобы условие не нарушилось. Заметим, что можно добавить просто сумму этих чисел. Покажем, что таким способом (добавляя сумму всех предыдущих чисел) можно получить сколь угодно много чисел, сумма которых делится на каждое из них. Для трех чисел уже показали. Пусть теперь мы нашли n чисел, сумма которых делится на каждое из них: a₁,a₂,…,a_n. Добавим число S_n = a₁+a₂+…+a_n. Тогда новая сумма равна S = 2*S_n, которая, очевидно, делится на каждое из чисел a₁,a₂,…,a_n и на S_n.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.