Решение задачи 298

Условие:

На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх. Могла ли при этом верхняя грань куба повернуться на 90° относительно своего начального положения?

Решение:

Превращаем плоскость в бесконечную чёрно-белую шахматную доску. Будем считать, что в начальный момент куб стоит на черной клетке шахматной доски.

Также покрасим вершины куба в красный и синий цвета следующим образом:

Концы любого ребра покрашены в разные цвета.

Будем обращать внимание на то, как раскрашены вершины на верхней грани куба. На любой грани есть ровно две красные и ровно две синие вершины, причем две одноцветные вершины не могут быть соединены ребром. Поэтому возможны только два варианта раскраски:

Теперь, если внимательно посмотреть на рисунок 1, то становится понятно, что при перекате через любое ребро в соседнюю клетку раскраска верхней грани всегда будет иметь второй тип:

Отсюда легко понять, что в каждой белой клетке шахматной доски раскраска верхней грани куба будет иметь тип 2, а каждой черной - тип 1.

Получается, что если куб перекатили по ребрам несколько раз и вернули в первоначальное положение, то тип раскраски его верхней грани не изменился, поскольку в любой черной клетке тип один и тот же. Но при повороте на 90° тип меняется, поэтому верхняя грань не могла повернуться на 90° .

Ответ: нет, не могла.

Источник: турнир Городов 2005/2006.