Решение задачи 284

Условие:

На бесконечной плоскости расположены фишка-волк и 2000 фишек-овец. Двое ходят по очереди: один игрок передвигает волка, а другой одну из овец. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции, волк поймает хотя бы одну овцу?

Решение:

Покажем, что можно расставить овец и волка, что существует тактика для овец, не позволяющая волку съесть ни одну овцу.

Поставим всех овец на одну горизонтальную прямую на расстоянии 7 метров друг от друга. Волка же поставим на достаточно большом расстоянии от этой прямой (скажем, 20 метров).

Разрешим овцам ходить только вверх и вниз на расстояние один метр, тем самым обеспечивая, что в любой момент времени расстояние между любыми двумя овцами не меньше 7 метров.

Волк начинает как-то ходить. Около каждой овцы проведем мысленную вертикальную полосу шириной в 6 метров (по 3 метра в каждую сторону от овцы):

Овца будет покоиться до тех пор пока волк не войдёт в ее полосу. Если после своего хода волк зашёл в полосу какой-то овцы, то она начинает своё движение вверх или вниз в ту часть полуплоскости, где волка нет (если волк зашёл "сбоку", то овца может двигаться в любом направлении).

Таким образом, можно считать, что волк "гонится" только за одной овцой в любой момент времени.

Покажем, что эта овца сможет убежать от волка. Действительно, в момент пересечения волком границы, расстояние между волком и овцой строго больше 2 метров (если волк наступил на границу, то будем считать, что он ее пересёк). Сделав соответствующий ход, расстояние до овцы только увеличится и останется не строго больше 2 метров. Если на следующем ходу волк захочет гнаться за той же овцой, то он сможет сократить расстояние до нее не более, чем до одного метра и на следующем своём ходу овца опять оставит волка на расстоянии не менее одного метра. Таким образом ни одну овцу при такой тактике волк догнать не сможет.

Ответ: нет.