Решение задачи 273

Условие:

На доске выписаны числа 1, 2,...,20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число ab+a+b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Решение:

Рассмотрим следующую величину: произведение всех чисел, увеличенных на единицу. Назовем эту величину мощным произведением. Покажем, что это инвариант. Пусть на доске написаны числа: A,B,... . Тогда мощное произведение равно (A+1)(B+1)*N, где N -- натурально число. Проделаем операцию, стерев числа A и B. Тогда мощное произведение станет равным (AB+A+B+1)*N=(A+1)(B+1)N, то есть мощное произведение действительно инвариант. Изначально оно равно 21!, а в конце остается лишь одно число X, мощное произведение которого равно X+1, то есть X=21!−1.

Ответ: 21!−1.