Решение задачи 269

Условие:

Из точки внутри выпуклого многоугольника опускают перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр попадёт на сторону.

Решение:

Выпуклость обычно понимают двумя эквивалентными способами:

любой отрезок, соединяющий две точки многоугольника лежит внутри многоугольника, либо многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через любую сторону. Доказательство эквивалентности этих двух определений вы можете посмотреть здесь, это полезно знать для общего математического развития :)

Давайте рассмотрим ближайшую прямую, проходящую через сторону к исходной точке A (если таких несколько, рассмотрим любую). Опустим перпендикуляр из точки А на эту прямую. Пусть его основание D попадает на продолжение стороны. (Многоугольник обозначен коричневым, его внутренность заштрихована)

Согласно второму определению выпуклости нижняя прямая, содержащая сторону, может пересекаться с многоугольником только по стороне. Значит точка D лежит вне многоугольника, а точка A внутри. Таким образом, перпендикуляр обязан пересечь какую-то другую сторону многоугольника. Но тогда точка А будет ближе к этой стороне, чем к ближайшей, чего не может быть. (очевидно, что AB<AD). Значит основание перпендикуляра, проведенного к ближайшей стороне многоугольника обязано лежать на этой стороне. ЧТД.

Интересный факт, что эту задачу можно решить физическим методом.

Предположим, что все основания перпендикуляров к сторонам лежат вне стороны многоугольника. Давайте представим, что мы вырезали исходный многоугольник из лёгкого картона, а в исходную точку поместили грузик. Поставим эту картонку с грузиком вертикально на пол, преслонив к стене. Тогда сила тяжести, действующая на грузик будет создавать момент вращения, поскольку перпендикуляр, опущенный из центра масс попадает вне многоугольника. Картонка перекатывается на следующую сторону. Опять сила тяжести создаёт момент вращения. И так далее. Получается, что картонка будет катиться вечно, что противоречит закону сохранения энергии.