Решение задачи 267

Условие:

Сто карточек в стопке пронумерованы числами от 1 до 100 сверху вниз. Двое играющих по очереди снимают сверху по одной или несколько карточек и отдают противнику. Выигрывает тот, у кого первого произведение всех чисел на карточках станет кратно 1000000. Может ли кто-то из игроков всегда выигрывать независимо от игры противника?

Решение:

Сначала покажем, что не может быть ничьи. Рассмотрим десять карточек: 10,20,30,...,100. Если какой-то игрок взял 6 карточек из этих десяти, то произведение чисел на его карточках будет делиться на 1000000. Если оба игрока взяли по 5 карточек из этих десяти, то кто-то взял карточку с числом 100, а значит у этого игрока произведение чисел на его карточках точно будет делиться на 1000000.

Теперь покажем, что второй игрок не может выиграть. Действительно, пусть у второго игрока есть победная тактика. Можно считать, что изначально у игроков произведение чисел на карточках равно 1. Пусть первый игрок своим первым ходом отдал первую карточку с числом 1 противнику. Теперь первый игрок как бы стал "вторым", ведь у обоих игроков произведение чисел на их карточках так и осталось равным единице. Пусть второй игрок как-то ответил на ход первого игрока, передал какие-то картчоки первому игроку. Можно к этим переданным карточкам добавить карточку "1", ничего не изменится. То есть второй игрок как-будто бы сходил как "первый" игрок. А значит у первого игрока есть победная тактика по предположению. Противоречие, значит у второго игрока нет победной тактики.

Ответ: Первый игрок всегда выигрывает.