Решение задачи 265

Условие:

На острове живут 33 рыцаря, а также лжецы и фантазеры. Каждого жителя этого острова по очереди спросили "Сколько среди вас рыцарей?". Было получено 10 различных ответов, каждый из которых был назван более, чем одним жителем. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда называют неверное число, которое еще не было названо, а фантазеры всегда называют число, которое на единицу больше предыдущего ответа. Обязательно ли было названо число 40?

Решение:

Сначала докажем, что числа, меньшие 33, не были названы. Рассмотрим наименьше названное число, предположим, что оно меньше 33. Тогда его рыцари не могли назвать, так как они все назвали 33. Фантазер тоже не мог назвать наименьшее число, так как до него кто-то бы назвал число, меньшее на единицу. Получается, что наименьшее число назвал лжец. Кто же мог повторить за ним? Другой лжец не мог, так как лжецы называют числа, которые еще не были названы. Фантазер не мог, так как кто-то должен был назван число до него, которое на единицу меньше наименьшего. Рыцарь также не мог повторить, так как рыцари называют только 33. Получаем, что наименьшее названное число -- 33.

Рассмотрим какое-нибудь названное число, большее 33. Какой-то из фантазеров должен был назвать это число, так как лжецы не называют одни и те же числа, а рыцари называют только 33. Это значит, что и предыдущее число было названо. Отсюда следует, что все числа 33,...,42 были названы.

Ответ: Обязательно.