Решение задачи 264

Условие:

Могут ли обе декартовы координаты всех вершин равностороннего треугольника быть целыми числами?

Решение:

Покажем, что такого треугольника не может существовать.

Предположим противное. Тогда есть квадратная сетка со стороной 1, причём вершины этого равностороннего треугольника лежат в вершинах этой сетки.

Тогда мы можем вписать равносторонний треугольник в некоторый прямоугольник:

На рисунке исходный равносторонний треугольник выделен красным, а описанный прямоугольник - зелёным. Заметим, что зелёный прямоугольник складывается из равностороннего треугольника и нескольких прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольника, очевидно, целое число. Площади прямоугольных треугольников по крайней мере рациональны, т.к. их катеты - целые числа. Таким образом, мы приходим к тому, что площадь исходного равностороннего треугольника должна быть рациональна.

Но с другой стороны, площадь равностороннего треугольника со стороной a: S=(√3/4)*a²

Заметим, что a² является целым числом, поскольку либо сторона треугольника лежит на одной горизонтальной или вертикальной прямой, либо найдётся такой прямоугольный треугольник с катетами вдоль линий сетки и гипотенузой, равной a (тогда по теореме Пифагора a² равняется сумме квадратов двух целых чисел).

Таким образом, исходя из формулы для площадь равностороннего треугольника, выходит, что площадь треугольника должна быть иррациональной. Противоречие.

Ответ: нет.