Решение задачи 263

Условие:

Квадрат n×n разрезали на n² прямоугольников (n-1)-ой горизонтальной и (n-1)-ой вертикальной прямой. Затем раскрасили все прямоугольники в шахматном порядке. Оказалось, что главная диагональ, клетки которой покрашены в черный цвет состоит только из квадратов. Докажите, что суммарная площадь черных прямоугольников не меньше суммарной площади белых.

Решение:

Пусть x1,x2,...,xn - расстояния между первой и второй горизонтальной линией доски (считаем, что первая линия - верхний край доски), второй и третьей,..., n-ой и n+1-ой (считаем, что (n+1)-я линия - нижний край доски) соответственно. Аналогично вводим расстояния между вертикальными линиями y1,...,yn справа налеао.

Понятно, что для того, чтобы на черной главной диагонали (эта главная диагональ идёт из левого нижнего угла в правый верхний) были только квадраты, нужно чтобы при любом i xi=yi.

Понятно, что для всех чёрных клеток (i,j) выполнено, что i+j - чётно, а для белых - нечётно. Суммарная площадь всех чёрных клеток - сумма всевозможных xi*xj, где (i+j) - чётно. Суммарная площадь всех белых клеток - сумма всевозможных xk*xl, где (k+l) - нечётно.

Рассмотрим значение выражения (x1-x2+x3-x4+...)².

После раскрытия скобок понятно, что каждый множитель, сумма индексов которого чётна, будет входить в сумму со знаком "+", а каждый множитель, сумма индексов которого нечётна - со знаком "-". Таким образом, значение этого выражения как раз и будет являться разницей площадей всех чёрных и белых клеток. Поскольку это квадрат, то он не меньше нуля, откуда следует, что суммарная площадь чёрных клеток не меньше суммарной площади белых.