Решение задачи 271

Условие:

Пусть 𝑛>2. Докажите, что между 𝑛 и 𝑛! есть по крайней мере одно простое
число.

Решение:

Рассмотрим число n!−1. Очевидно, оно больше n. Число n! делится на все числа 2,..,n, отсюда следует, что n!−1 не делится ни на одно из чисел 2,..,n. Осталось рассмотреть любой простой делитель числа n!−1 (оно может быть само простым). Тогда очевидно этот делитель меньше чем n!, и из вышесказанного следует, что он больше n.