Решение задачи 258

Условие:

Верно ли, что среди чисел вида 2ⁿ+4ᵏ бесконечно много являются квадратами?

Решение:

Пусть n>2k, тогда 2ⁿ+4ᵏ = 2ⁿ+2²ᵏ=2²ᵏ(2ᵐ+1), где m=n-2k. Число 2²ᵏ, очевидно, является полным квадратом при любом натуральном k, а выражение 2ᵐ+1 равно 9 при m=3. Получается, что 2ⁿ+4ᵏ является квадратом, если n-2k=3. Очевидно, что пар (n,k)=(2k+3,k) бесконечно много, а все числа вида 9*2²ᵏ различны.

Ответ: Да.