Решение задачи 256

Условие:

Докажите фокальное свойство эллипса.

Решение:
Решим сначала вспомогательную задачу: Даны точки А, B и прямая, не проходящая через них. Найдите на этой прямой такую точку С, чтобы путь ACB был кратчайшим. Назовем эту задачу задачей Ферма.

Отразим точку относительно прямой. Обозначим полученную точку через A₁.

Тогда очевидно, что для любой точки С на прямой AC+CB=A₁C+CB. Несложно видеть, что минимум этой суммы достигается, когда точка С лежит на прямой A₁B.

Пусть С лежит на прямой A₁B. Тогда нетрудно видеть, что углы, отмеченные на рисунке, равны.

Вернемся к исходной задаче. Пусть на эллипсе с фокусами A, B отмечена точка С, и к через нее проведена касательная к эллипсу.

Решим задачу Ферма для точек A, B и касательной. Рассмотрим точку F, не совпадающую с точкой С. Точка G -- точка пересечения AF с эллипсом.

Тогда из неравенства треугольника и определения эллипса следует, что AF+FB>AG+GB=AC+CB. Отсюда следует, что точка С -- решение задачи Ферма. Тогда интересующие нас углы равны.