Решение задачи 249

Условие:

Докажите, что график кубического многочлена f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0) имеет центр симметрии.

Решение:

Сначала стоит заметить, что график функции ax³+bx²+cx отличается от графика функции ax³+bx²+cx+d сдвигом на d по вертикали, который не влияет на наличие центра симметрии. Поэтому можем рассматривать уравнение: ax³+bx²+cx. Давайте сделаем сдвиг по горизонтали на k вправо, получим уравнение:

a(x-k)³+b(x-k)²+c(x-k)

или после раскрытия скобок:

ax³+x²(b-3ak)+x(3ak²-2bk+c)-ak³+bk²-ck

Видим, что если взять k=b/3a, то коэффициент при x² занулится и мы получим уравнение вида: ax³+mx+n

Если теперь опустить график этой функции на n, то мы получим уравнение: ax³+mx.

Что мы только что сделали?

Всё что мы делали до сих пор - это параллельный перенос графика функции: при вычитании числа график опускается на это же число, а при замене x на x-k график сдвигается на k вправо. Значит форма графика при этих преобразованиях не меняется. В результате мы получили график функции: ax³+mx, который очевидно является центрально симметричным относительно точки (0;0), поскольку при подстановке -x вместо x, выражение меняет знак. Таким образом, можно утверждать, что и график исходного многочлена является центрально симметричным.