Решение задачи 248

Условие:

Докажите, что число 0,10100100010000... иррационально.

Решение:

Пусть число А=0,10100100010000... рационально. Тогда у него есть предпериод (возможно, нулевой длины) и период длины n. Очевидно, что период состоит не из одних нулей (иначе в числе А было бы конечное число единиц). Дробная часть числа А без предпериода разбивается на бесконечное число одинаковых сегментов длины n, идущих подряд. 

Но нетрудно видеть, что в числе А найдутся хотя бы 2n-1 нулей, идущих подряд и не пересекающихся с предпериодом. Также несложно заметить, что один из сегментов полностью попадет в этот фрагмент из хотя бы 2n-1 нулей. Отсюда следует, что период состоит из одних нулей, противоречие.