Решение задачи 242

Условие:

Известно, что a³+b³+c³ кратно 7. Верно ли, что abc кратно 7?

Решение:

Разберемся какие остатки могут давай кубы при делении на 7. Натуральные числа дают остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 при делении на 7. Тогда квадраты дают остатки 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 при делении на 7 соответственно. Тогда кубы дают остатки 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6 при делении на 7 соответственно. Осюда следует, что какой-то из кубов a³, b³, c³ дает остаток 0 (хотя бы один), т.к. иначе сумма a³+b³+c³ дает остаток 1+1+1=3, либо 1+1+6=1, либо 1+6+6=6, либо 6+6+6=4, т.е. не делится на 7. Получается, хотя бы один из кубов делится на 7 (без ограничения общности можно считать, что это a³), а так как 7 простое, то и само число а делится на 7, значит abc делится на 7.

Ответ: Да.