Решение задачи 237

Условие:

В ряд выложено 100 монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат 50 подряд фальшивых (остальные - настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы 34 настоящие монеты? 

Решение:

Сначала будет логичным пронумеровать все монеты по порядку от 1 до 50.

Давайте будем взвешивать всего две монеты, по одной на каждой чаше весов. Что нам скажет информация о том, что какие-то две монеты весят одинаково? Либо они обе настоящие, либо обе фальшивые, но весят одинаково. Чтобы устранить эту неопределенность, давайте будем предполагать, что хотя бы одна из двух взвешиваемых монет настоящая. Тогда в этом случае равенство чаш будет нам однозначно говорить о том, что обе монеты настоящие. Как же добиться того, чтобы хотя бы одна из двух монет была настоящая?

Допустим, первая выбранная монета имеет номер n. Тогда если номер второй монеты не меньше n+50, то поскольку нам известно, что все фальшивые монеты идут подряд, все фальшивые монеты не могут поместиться полностью в промежуток от n до n+50 (включительно). Значит хотя бы одна из монет с номером n или n+50 будет настоящей. Теперь перейдем к решению поставленной задачи. Допустим, мы взвешиваем монеты с номером m,k (где k-m>49, k<50, m>49). Как мы уже показали, среди них найдется хотя бы одна настоящая. Далее может быть три разных случая:

Равенство на весах. Следовательно, обе монеты настоящие. Тогда все монеты с номером:от 1 до k и от m до 100 (включительно) настоящие.

Монета с номером k перевешивает. В этом случае она настоящая, а монета с номером m - фальшивая. Тогда все монеты с номером от 1 до k (включительно) настоящие. Также настоящими будут все монеты с номером от k до m-50 (включительно), поскольку номера фальшивых монет отличаются менее, чем на 50.

Аналогично, если монета с номером m перевешивает, то она настоящая, а монета с номером k - фальшивая. В этом случае все монеты с номером от m до 100 и от k+50 до m (включительно) настоящие.

Нам нужно отыскать хотя бы 34 настоящие монеты. Поэтому положим k=17, m=84 в ранее рассмотренном общем случае.

Ответ:

Да, можно.